Matura poprawkowa matematyka – sierpień 2017 – poziom podstawowy – odpowiedzi. Matura podstawowa matematyka 2012 Matura podstawowa matematyka 2011 Liczba stron. 208. Język publikacji. polski. 29, 90 zł. 37,89 zł z dostawą. Produkt: Matura z matematyki 2018- cz.1 Poziom podstawowy i rozszerzony Andrzej Kiełbasa. dostawa we wtorek. Matura matematyka 2016 maj (poziom podstawowy) Matura: CKE Arkusz maturalny: matematyka podstawowa Matura podstawowa matematyka 2012 Matura podstawowa matematyka 2011 Matura z matematyki 2012 – Maj Poziom Podstawowy – Odpowiedzi CKE Mając podany arkusz Centralnej Komisji Edukacyjnej wraz z odpowiedziami możesz śmiało rozpocząć dokładną analizę zadań. Jeżeli jesteś tegorocznym maturzystą będzie to dla Ciebie fajny trening przed maturą. Poziom podstawowy Symbol arkusza MMAP-P0-100-2209 DATA: 29 września 2022 r. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:00 CZAS TRWANIA: 180 minut LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 46 Przed rozpoczęciem pracy z arkuszem egzaminacyjnym 1. Sprawdź, czy nauczyciel przekazał Ci właściwy arkusz egzaminacyjny, tj. arkusz z właściwego przedmiotu na właściwym MATURA Z MATEMATYKI 2023-2024 cześć 1 PODST/ROZSZ. Stan Nowy Klasa MATURA Z MATEMATYKI 2023-2024 POZIOM PODSTAWOWY. od. Super Sprzedawcy. Stan Nowy Klasa 1, 2, 3, 4 0Rft2td. miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy @miodzio1988, nie narzekam na trzeci przedmiot, tylko na matematykę. I dla Twojej wiadomości tylko z matmy miałem dopy zawsze. I powtarzam, że nie wiem ile punktów za ustną i jak to jest liczone. ehem...Nie rozumiem co w tym fajnego, ale do rzeczy: z każdego innego przedmiotu mam dobre oceny, nawet z fizyki i chemii jakoś mi szło (tutaj akurat lenistwo, że mam dopy, ale rozumieć rozumiałem), I po co kłamać?Jedna pracuje w salonie pewnej znanej firmy telefonii komórkowej. hahahahh świetna robota ... Co myślicie o tych zadaniach? smigol Użytkownik Posty: 3454 Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 89 razy Pomógł: 353 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: smigol » 21 sie 2012, o 13:44 Bardzo trudne zadania. Dla kogoś takiego jak Ty miodzio są pewnie proste. No, ale mi rodzice nie kazali liczyć delty w trakcie jedzenia obiadu. kamil13151 Użytkownik Posty: 5018 Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 459 razy Pomógł: 912 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: kamil13151 » 21 sie 2012, o 13:50 Masakra! Tak trudnej matury nie widziałem od wieków! Ale moment, moment... Ja nie lubię języka polskiego, a kurcze, musiałem go zdawać? Zacytuję moje słowa, bo widać, że o nich zapomniał: kamil13151 pisze:Grzechu_, Przestań już trollować. Wcale żadne pieniądze nie są potrzebne. Te forum stało się dla mnie korepetytorem. Przestań szukać przyczyn swojego nie zdania, bo to jest oczywiste, że to TY jesteś temu winien i nikt inny, ani nic. Jesteś po prostu totalnym LENIEM! Matura nie jest obowiązkowa. MadJack Użytkownik Posty: 270 Rejestracja: 21 lis 2010, o 22:23 Płeć: Mężczyzna Podziękował: 5 razy Pomógł: 35 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: MadJack » 21 sie 2012, o 14:21 miodzio1988 pisze:A wiesz bejbe ile jest liczb całkowitych? Ależ ja wyraźnie słyszałem, że jest ich przeliczalnie wiele! Czyli logiczne, że da się je wszystkie przeliczyć, lol. Także nie martw się Grzechu_ i miodzia nie słuchaj. Twoje metody rozwiązywania zadań są logiczne i tylko przez nielogiczność matematyki jeszcze matury nie zdałeś. smigol pisze:ps. 2 poza tym na zdolności matematyczne decyduje płeć matki, a to nie moja wina, że mama ma płeć jaką ma. Jak dla mnie najlepszy tekst w tym temacie :> kamil13151, mi też się wydaje, że jest ona jeszcze prostsza niż w maju. Nie sądziłem, że to możliwe, a jednak miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: miodzio1988 » 21 sie 2012, o 14:23 Jednak pracuje w salonie pewnej znanej firmy telefonii komórkowej. Ja myślałem, że ten najlepszy W ogóle jakie dyskusje są fajne w necie na temat tego ostatniego zadania Christofanow Użytkownik Posty: 174 Rejestracja: 30 sie 2010, o 12:39 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: ffff Podziękował: 12 razy Pomógł: 2 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Christofanow » 22 sie 2012, o 00:22 Ja mam pytanie z jakich "znanych" na podstawie programowej własności i twierdzeń należało skorzystać aby rozwiązać zadanie dotyczące stosunku długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny do długości boku trójkąta? miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: miodzio1988 » 22 sie 2012, o 00:24 rozwiązaniach gotowych w necie nie ma? W tych gotowych korzystali z czegoś bardzo trudnego? Christofanow Użytkownik Posty: 174 Rejestracja: 30 sie 2010, o 12:39 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: ffff Podziękował: 12 razy Pomógł: 2 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Christofanow » 22 sie 2012, o 00:37 Niczego bardzo trudnego nie było ale choćby wzór na długość promienia okręgu wpisanego w wymieniony w zadaniu trójkąt oczywistym chyba nie był. Zastanawiam się czy można było to zadanie w jakiś prosty sposób obliczyć - w podręcznikach do PP nie widziałem twierdzenia o dwusiecznych kąta. Jest wzór na wysokość i można się zorientować, że środek takiego okręgu jest w \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\) ale pewności bym nie miał bo takich informacji na PP nie spotkałem. kamil13151 Użytkownik Posty: 5018 Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 459 razy Pomógł: 912 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: kamil13151 » 22 sie 2012, o 09:03 ale pewności bym nie miał bo takich informacji na PP nie spotkałem. Tak, tak... ściemniaj dalej. Christofanow Użytkownik Posty: 174 Rejestracja: 30 sie 2010, o 12:39 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: ffff Podziękował: 12 razy Pomógł: 2 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Christofanow » 22 sie 2012, o 09:25 Ja rozumiem, że treści o dużej sile wyrazu dobrze nadają się do onanizacji własnego ego ale nie zarzucaj mi kłamstwa. Zachęcam do zapoznania się z podręcznikami do liceum, zakres podstawowy, Matematyka z plusem, GWO - nie musisz tego robić, jednak wówczas nie masz żadnych podstaw aby zdanie: w podręcznikach do PP nie widziałem twierdzenia o dwusiecznych kąta. uważać za niezgodne z prawdą (tj. stanem faktycznym). kamil13151 Użytkownik Posty: 5018 Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 459 razy Pomógł: 912 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: kamil13151 » 22 sie 2012, o 09:55 w podręcznikach do PP nie widziałem twierdzenia o dwusiecznych kąta. To jest prawdą, w książkach do rozszerzenia nawet tego nie spotkałem, jednak ta własność jest nam nie potrzebna. Ja Ci zarzuciłem kłamstwo czego innego: Jest wzór na wysokość i można się zorientować, że środek takiego okręgu jest w \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\) ale pewności bym nie miał bo takich informacji na PP nie spotkałem. To jest jak najbardziej podstawowy fakt i mogę się założyć, że w zeszycie (jeżeli taki prowadziłeś) są zadania z wykorzystaniem tej o dużej sile wyrazu dobrze nadają się do onanizacji własnego ego To nie jest kółko poetyckie. Kamil_kamil Użytkownik Posty: 4 Rejestracja: 22 sie 2012, o 10:00 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Kamil_kamil » 22 sie 2012, o 10:10 Witam. Bardzo Proszę o odpowiedź. W zadaniu 28 na poprawce wczorajszej z matematyki obliczyłem sumę początkowych sześciu ciągów i wyszedł mi wynik \(\displaystyle{ 78}\), lecz nie zrobiłem tego według określonego wzoru tylko na logikę pomyślałem że \(\displaystyle{ r}\) będzie wynosić \(\displaystyle{ 4}\). Zapisałem po kolei że \(\displaystyle{ a_1=3, a_2=7, a_3=11}\) i tak do szóstego i następnie dodałem wszystko i wyszedł mi poprawny wynik. Problem w tym, że nie wiem czy będę mieć za to chociaż 1 w moim przypadku (decydujący ) punkt do zdania tej matury, gdy mam poprawny wynik ale innym sposobem. > Ostatnio zmieniony 22 sie 2012, o 19:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz. Powód: Brak LaTeXa. Proszę zapoznaj się z instrukcją: . kamil13151 Użytkownik Posty: 5018 Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 459 razy Pomógł: 912 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: kamil13151 » 22 sie 2012, o 10:11 Kamil_kamil, obliczenie sześciu początkowych wyrazów ciągu i ich zsumowanie jest jak najbardziej poprawne, jednak można się doczepić do faktu "na logikę pomyślałem, że \(\displaystyle{ r=4}\)", czyli nie udowodniłeś tego? Kamil_kamil Użytkownik Posty: 4 Rejestracja: 22 sie 2012, o 10:00 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Kamil_kamil » 22 sie 2012, o 10:16 właśnie w tym problem, że Nie :/ Jak myślisz dostane ten 1 punkt? :/ miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Skoro przejechał dziwną ilość km, tzn., że jeździł sobie na czas i po 4 godzinach przestał. Świetna logika. \(\displaystyle{ 114}\) to dziwna liczba Poza tym gdyby moje założenie okazało się błędne to wtedy spróbowałbym z liczbą inną niż całkowitą. A wiesz bejbe ile jest liczb całkowitych? Jaki przedmiot z obowiązkowych ma najgorszą zdawalność? Tak, zgadłeś. Matematyka. No i? Bardzo dobrze. Właśnie te osoby nie powinny mieć matury. Nie powinieneś mieć matury, bo się nadajesz. proste. Chyba, że się trafią jakieś profesorki same. Niepełnosprawni zdają maturę z matmy, a Ty narzekasz? heheh zabawny matematyką problem mam nie tylko ja. No i? Napisał maturę poprawkową i znowu na narzekanie go wzięło. Typowy Polak Grzechu_ Użytkownik Posty: 22 Rejestracja: 24 kwie 2012, o 22:21 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Polska Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Grzechu_ » 21 sie 2012, o 12:33 Bez sensu jest to co mówisz, że nie powinienem mieć matury bo nie ogarniam matmy. Czyli wg Ciebie wszyscy którzy zdawali w starym systemie, bez matematyki, nie powinni mieć zaliczonej matury? Najlepiej im odebrać papierki, tak? A to, że większość z nich po tej zdanej maturze bez matematyki poszła na studia i zdobyła dobrą pracę to już nie ważne. I skończ z tymi niepełnosprawnymi bo w końcu pomyślę, że sam nim jesteś. Niepełnosprawny też może być profesorem. W ogóle jest to śmieszne bo niepełnosprawny może mieć tez lepszy wynik od Ciebie, mimo, że zdałeś. Więc nie próbuj mnie poniżać bo jakiś niepełnosprawny zdał, a ja nie. Tu chodzi o wynik. Ty mogłeś mieć 70%, a niepełnosprawny 90% i co? Jesteś głupi. Ciekaw jestem ile miałeś z polskiego i angielskiego. Ciekawe czy więcej ode mnie. Jak nie to nie zasługujesz na to, żeby mieć maturę, lol. Btw. Wie ktoś gdzie znajdę wyniki z tej dzisiejszej matury? Bo nigdzie nie mogę znaleźć. Premislav Użytkownik Posty: 15583 Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 178 razy Pomógł: 5175 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Premislav » 21 sie 2012, o 12:37 Wybacz proszę, jeśli się mylę, ale odnoszę dziwne wrażenie, że to Ty właśnie pisałeś parę ładnych miesięcy przed maturą, jaka ta matma na maturze bez sensu i że na bank nie zdasz. Znając życie, nie zrobiłeś NIC w międzyczasie, tylko dalej sobie gadałeś, że nie zdasz i świat jest nie fair. Przyjmowanie jakichkolwiek liczb na zasadzie "jak jest, każdy widzi" to operacja, której wypada nie komentować. Gdybyś troszeczkę się zastanowił... Skoro kompletnie nie rozumiesz podstawowych rzeczy, to znak, że trzeba nad tym trochę popracować, a nie biadolić na forum. smigol Użytkownik Posty: 3454 Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 89 razy Pomógł: 353 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: smigol » 21 sie 2012, o 12:40 Premislav, ale to Ty myślisz nielogicznie. Grzechu_ napisał dobrze dwie matury i teraz chciałby iść na studia jeśli dobrze rozumiem. Ale nie może iść na studia, bo nie zdał tylko jednej z trzech matur... I co teraz ma zrobić? Zostać seryjnym samobójcą? miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: miodzio1988 » 21 sie 2012, o 12:41 Bez sensu jest to co mówisz, że nie powinienem mieć matury bo nie ogarniam matmy. Ma sens. Nie masz podstawowych umiejętności, aby maturę zdać. WIęc matury nie powinieneś to, że większość z nich po tej zdanej maturze bez matematyki poszła na studia i zdobyła dobrą pracę to już nie ważne. Serio chcesz wracać do starych czasów? Za starych czasów Ty byś z pierwszej klasy podstawówki nie Wie ktoś gdzie znajdę wyniki z tej dzisiejszej matury? Bo nigdzie nie mogę znaleźć. Tego samego dnia Ci by mieli sprawdzić? No mogłeś mieć 70%, a niepełnosprawny 90% i co? Jesteś głupi. Lepiej się nie pytaj ile miałem I czemu mam z tym skończyć? Głupio Ci? Że takie osoby zamiast narzekać walczą?Ciekaw jestem ile miałeś z polskiego i angielskiego. Ciekawe czy więcej ode mnie. Jak nie to nie zasługujesz na to, żeby mieć maturę, lol. Możesz się pochwalić. Angielski rozszerzony? I ja nie wiedziałem, że to Ty wyznaczasz standard kto powinien mieć maturę a kto nie Grzechu_ Użytkownik Posty: 22 Rejestracja: 24 kwie 2012, o 22:21 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Polska Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Grzechu_ » 21 sie 2012, o 12:42 Tak, to ja pisałem. I mylisz się, zaglądałem do zeszytów i podręcznika. Niestety, jak już wtedy pisałem nie mam pieniędzy na korepetycje, żeby mnie ktoś pouczył, a sam nic nie wywnioskuję gapiąc się w zeszyt. Jak teraz nie zdam to za rok sobie poradzę bo do tego czasu znajdę jakąś robotę, choćby dorywczą i będę miał na korepetycje choćby po 4 godziny codziennie. A wiem, że to mi pomoże bo nie raz mi ktoś tłumaczył i pomagało. Chodzi o to, że mój nauczyciel, jak większość nie potrafi tłumaczyć. To musi być rówieśnik, żebym zrozumiał. @miodzio1988, no tak samo jak Ty nie wyznaczasz standardów. I tak, chcę wracać do starych czasów. I nie cytuj tylko fragmentów mojej wypowiedzi jak dalej jest coś istotnego. Kiedyś nie było matmy obowiązkowej. Moja wina, że nie urodziłem się kilka lat wcześniej, tak? Bo wtedy wg Ciebie zasługiwałbym, żeby mieć maturę bo bym ją zdał bez problemu. I proszę bardzo, moje wyniki: polski pisemny - 92%, polski ustny - 86%, angielski rozszerzony - 70%, ustny - 90%. Ostatnio zmieniony 21 sie 2012, o 12:47 przez Grzechu_, łącznie zmieniany 1 raz. miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: miodzio1988 » 21 sie 2012, o 12:45 Chodzi o to, że mój nauczyciel, jak większość nie potrafi tłumaczyć. Jak nie wina systemu to wina nauczyciela. Nawet przez chwile nie może chłopak zrozumieć, że może słabo myśli i się nie nadaje, żeby dostać maturę. Zdawałaś tylko trzy przedmioty? Jak reszta? Podaj wyniki. Pochwal się@miodzio1988, no tak samo jak Ty nie wyznaczasz standardów. I tak, chcę wracać do starych czasów. I nie cytuj tylko fragmentów mojej wypowiedzi jak dalej jest coś istotnego. Co istotnego ominąłem? ;] Gdybym ja wyznaczał standardy to byś matury nigdy nie miał Grzechu_ Użytkownik Posty: 22 Rejestracja: 24 kwie 2012, o 22:21 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Polska Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Grzechu_ » 21 sie 2012, o 13:05 Wyniki podałem wyżej, edytowałem post bo nie pamiętałem ich i musiałem zobaczyć bo mam zapisane. Ominąłeś istotne pytanie, czy należy unieważnić maturę wszystkim, którzy nie mieli obowiązkowej matmy? Bo wg Ciebie nie zasługują oni na maturę. I chodziło mi o odpowiedzi w necie, tak jak było przy maturach w maju, że wracałem do domu, a na wszystkich serwisach informacyjnych już były arkusze z odpowiedziami. Widać, że myśliciel to z Ciebie nie jest skoro sądzisz, że chodziło mi o sprawdzenie mojego arkuszu przez komisję. miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: miodzio1988 » 21 sie 2012, o 13:09 Moja wina, że nie urodziłem się kilka lat wcześniej, tak? Bo wtedy wg Ciebie zasługiwałbym, żeby mieć maturę bo bym ją zdał bez problemu. Musiałbyś trzeci przedmiot wtedy zdawać chyba, nie? A bez matmy byś trzeciego przedmiotu nie miał. WIęc też byś nie miał matury Chyba, że Giertych by Ci dał maturę dla proszę bardzo, moje wyniki: polski pisemny - 92%, polski ustny - 86%, angielski rozszerzony - 70%, ustny - 90%. Na ustnej maturze nie można było dostać maks 20 punktów? Za każdy punkt \(\displaystyle{ 5}\) procent ? czy należy unieważnić maturę wszystkim, którzy nie mieli obowiązkowej matmy? Bo wg Ciebie nie zasługują oni na maturę. Nie. Ty nie zasługujesz na maturę według mnie. I chodziło mi o odpowiedzi w necie, tak jak było przy maturach w maju, że wracałem do domu, a na wszystkich serwisach informacyjnych już były arkusze z odpowiedziami. Widać, że myśliciel to z Ciebie nie jest skoro sądzisz, że chodziło mi o sprawdzenie mojego arkuszu przez komisję. No z Ciebie za to widać, że jest duży myśliciel A ja mam fajną maturę i sobie studia kończę. A Ty roboty nie możesz znaleźć. Zobacz jaki ten świat nie jest logiczny, co? Grzechu_ Użytkownik Posty: 22 Rejestracja: 24 kwie 2012, o 22:21 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Polska Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Grzechu_ » 21 sie 2012, o 13:20 No lol, to bym wziął jako trzeci przedmiot co innego, a nie matematykę. Obojętnie, biologia, geografia. Nawet z chemii i fizyki całkiem dobrze mi szło - piątek nie było, ale czwórki tak. Na ustnej nie pamiętam ile punktów, ale na procenty to normalnie 100%. Przecież to jest umowna suma, oznaczająca maksimum, więc czemu na ustnej miałoby być inaczej? Taki wielki matematyk jak Ty, tego nie wie? Roboty jeszcze nie szukałem, a nie nie mogę znaleźć. Poza tym już pisałem kiedyś, że w tym kraju ludzie bez studiów mają lepszą pracę i zarobki niż ci co maja studia. Logiczne, prawda? A tym, że nie zasługuję na maturę wg Ciebie to mnie po prostu zmiażdżyłeś. Masz trochę zbyt wysokie ego, kolego... Idę bo aż przykro się czyta Twoje wypowiedzi niektóre. Ostatnio zmieniony 21 sie 2012, o 13:27 przez Grzechu_, łącznie zmieniany 1 raz. smigol Użytkownik Posty: 3454 Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 89 razy Pomógł: 353 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: smigol » 21 sie 2012, o 13:26 Grzechu_ pisze: Roboty jeszcze nie szukałem, a nie nie mogę znaleźć. O, rly?Grzechu_ pisze:Ale pracy szukam już od miesiąca i nic. A jak już coś to brak książeczki sanepidowskiej przeszkadza, ale jak mam ją wyrobić, skoro nie mam pieniędzy, a nie mam pieniędzy bo nie mam pracy? Poza tym już pisałem kiedyś, że w tym kraju ludzie bez studiów mają lepszą pracę i zarobki niż ci co maja studia. Logiczne, prawda? Zdarzają się też koty, które miauczą głośniej niż psy szczekają. I co z tego? miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: miodzio1988 » 21 sie 2012, o 13:27 No lol No. I ciekawe czy wtedy by nie było narzekania, że musisz trzeci przedmiot zdawać, bo tego Ci się nie udało zdać. szczególnie gdy dopy miałeś Na ustnej nie pamiętam ile punktów, ale na procenty to normalnie 100%. Przecież to jest umowna suma, oznaczająca maksimum, więc czemu na ustnej miałoby być inaczej? Taki wielki matematyk jak Ty, tego nie wie? Po prostu zastanawiam się. Jeśli by tak było jak mówię to ciężko, żebyś dostał \(\displaystyle{ 86}\) procent. Za \(\displaystyle{ 17}\) punktów byś miał \(\displaystyle{ 85}\) procent. Za \(\displaystyle{ byś miał \(\displaystyle{ procent. Więc troszkę ciężko by było trafić w te twoje \(\displaystyle{ 86}\) procent, nie? Matematyku Ty nasz Roboty jeszcze nie szukałem, a nie nie mogę znaleźć. Poza tym już pisałem kiedyś, że w tym kraju ludzie bez studiów mają lepszą pracę i zarobki niż ci co maja studia. Logiczne, prawda? Wow. Pisałeś, że szukałeś bejbe. Zacytować Ciebie? No to Ty jesteś bez studiów i bez matury, pokaż nam jak się załatwia pracę w tym kraju. No i schodzimy z tematu matury. Odpowiedzi znajdziesz na takiej fajnej stronce google. Poszukaj. A tym, że nie zasługuję na maturę wg Ciebie to mnie po prostu zmiażdżyłeś. Masz trochę zbyt wysokie ego, kolego... Idę bo aż przykro się czyta Twoje wypowiedzi niektóre. No nie zasługujesz. Przykro mi. Nie każdy powinien mieć maturę CO w ogóle myślicie o tej maturze poprawkowej? banalna, nie? Smigol mnie wyręczył kłamco Ostatnio zmieniony 21 sie 2012, o 13:28 przez miodzio1988, łącznie zmieniany 1 raz. Grzechu_ Użytkownik Posty: 22 Rejestracja: 24 kwie 2012, o 22:21 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Polska Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Grzechu_ » 21 sie 2012, o 13:28 @smigol, chodziło mi o szukanie pracy po skończeniu szkoły. Wtedy szukałem jeszcze zanim skończyłem i w ogóle przed maturą, więc oczywiste, że nie znalazłem. @miodzio1988, nie narzekam na trzeci przedmiot, tylko na matematykę. I dla Twojej wiadomości tylko z matmy miałem dopy zawsze. I powtarzam, że nie wiem ile punktów za ustną i jak to jest liczone. Ostatnio zmieniony 21 sie 2012, o 13:30 przez Grzechu_, łącznie zmieniany 1 raz. miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: miodzio1988 » 21 sie 2012, o 13:29 Ta matura zmieniła tak Twoje życie, że teraz na pewno robotę znajdziesz Grzechu_ Użytkownik Posty: 22 Rejestracja: 24 kwie 2012, o 22:21 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Polska Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Grzechu_ » 21 sie 2012, o 13:32 No większość z tych osób co nie zdała matmy oprócz mnie już ma robotę i to nie na budowie. Jedna pracuje w salonie pewnej znanej firmy telefonii komórkowej. Jak na początek fajna robota. A matury nie ma nawet. Ja dopiero od września zamierzam na nowo szukać pracy. EOT. Liczba $\begin{gather*}2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\end{gather*}$ jest liczbąA. wymiernąB. niewymiernąC. większą niż $\sqrt{2}$D. naturalną Liczba $b$ to $125\%$ liczby $a$. Wskaż zdanie $b=a+0,25\cdot a$B. $b=a+25\%\cdot a$C. $b=1,25\cdot a$D. $b=a+25\%$ Liczby należące do przedziału $ \left\langle -6,6\right\rangle$ są rozwiązaniami nierównościA. $|x|6$C. $|x|\leqslant 6$D. $|x|\geqslant 6$ Jeżeli $\log_x\frac{1}{64}=-4$ to liczba $x$ jest równa A. $\frac{1}{2}$B. $2\sqrt{2}$C. $2$D. $4$ Połowa liczby $2^{2010}$ to A. $1^{1005}$B. $1^{2010}$C. $2^{1005}$D. $2^{2009}$ Iloczyn wielomianów $W(x)=-3x^2+6$ i $P(x)=2x^3-6x^2+4$ jest wielomianem stopniaA. $2$B. $3$C. $5$D. $6$ Liczba $\log_4\left[\log_3\left(\log_28\right)\right]$ jest równa A. $0$B. $1$C. $2$D. $3$ Skończyliście już pisać maturę z matematyki? Co było na teście, na poziomie podstawowym? Był łatwy, czy trudny. Swoje opinie wpisujcie w komentarzach! Naszej reporterce udało się już poznać opinie uczniów z X Liceum Ogólnokształcącego im. Królowej Jadwigi w Matura była banalna, dużo prostsza niż zeszłoroczna. Było 34 zadania, które łatwo się rozwiązywało - mówi Aleksander Galecki z 3b, klasy o profilu Matura nie była trudna - potwierdza Michał z 3e. - Zadanie za 5 punktów, mimo, że najwyżej punktowane było dość łatwe. Trzeba było obliczyć siłę, Wczoraj bardzo podobne znalazłem w internecie, gdy powtarzałem materiał - Jedynym zaskoczeniem było dla mnie zadanie z prawdopodobieństwa. Chodzi o losowanie 2 liczb całkowitych od 1 do 7, losujemy ze zwracaniem. Musieliśmy obliczyć prawdopodobiństwo iloczynu wylosowanych liczb podzielnych przez 6. Zadanie było za 2 punkty - opowiada Piotrek z Zaskoczeniem były zadnia typu „wykaż że” na maturze podstawowej. Na szczęście za te zadania były tylko po 2 punkty… Liczę na około 90 % - powiedziała Ania z 3bPolecane ofertyMateriały promocyjne partnera Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 2012 2 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadanie 1. (0-1) Poprawna odpowiedź (1 p.) Wersja Wersja arkusza arkusza A B Obszar standardów Opis wymagań Modelowanie matematyczne Wykonanie obliczeń procentowych ( A D Zadanie 2. (0-1) Wykorzystanie Zastosowanie praw działań na potęgach i interpretowanie reprezentacji o wykładnikach wymiernych, obliczenie potęgi o wykładniku wymiernym ( Zadanie 3. (0-1) Wykonanie obliczeń na liczbach Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji rzeczywistych z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia ( Zadanie 4. (0-1) Wykorzystanie Obliczenie wartości logarytmu ( i interpretowanie reprezentacji Zadanie 5. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie pojęcia wartości i interpretowanie reprezentacji bezwzględnej do rozwiązania równania typu x ? a ? b ( Zadanie 6. (0-1) Wykorzystanie Obliczenie sumy rozwiązań równania i interpretowanie reprezentacji kwadratowego ( Zadanie 7. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 8. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie interpretacji i interpretowanie reprezentacji współczynników we wzorze funkcji liniowej ( A D Odczytanie z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej jej miejsc zerowych ( A B C B B A B C A A B C Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 3 Zadanie 9. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 10. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 11. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie definicji do wyznaczenia i interpretowanie reprezentacji wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta ostrego ( Zadanie 12. (0-1) Wykorzystanie Znalezienie związków miarowych i interpretowanie reprezentacji w figurach płaskich. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa ( Zadanie 13. (0-1) Wykorzystanie Znalezienie związków miarowych i interpretowanie reprezentacji w figurach płaskich. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa ( Zadanie 14. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Posłużenie się własnościami figur podobnych do obliczania długości odcinków ( D C D A B C B A Planowanie i wykonanie obliczeń na liczbach rzeczywistych ( D B Odczytanie z wykresu funkcji jej miejsc zerowych ( C D Zadanie 15. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie związku między i interpretowanie reprezentacji promieniem koła opisanego na kwadracie i długością jego boku ( Zadanie 16. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Wykorzystanie związków między kątem wpisanym i środkowym do obliczenia miary kąta ( C B B C 4 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadanie 17. (0-1) Modelowanie matematyczne Obliczenie wyrazów ciągu arytmetycznego ( C B Zadanie 18. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 19. (0-1) Wykorzystanie Obliczenie objętości sześcianu i interpretowanie reprezentacji z wykorzystaniem związków miarowych w sześcianie ( Zadanie 20. (0-1) Wykorzystanie Wyznaczenie wysokości stożka i interpretowanie reprezentacji z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych lub własności kwadratu ( Zadanie 21. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 22. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie pojęcia układu i interpretowanie reprezentacji współrzędnych na płaszczyźnie ( Zadanie 23. (0-1) Wykorzystanie Zbadanie czy dany punkt spełnia i interpretowanie reprezentacji równanie okręgu ( Zadanie 24. (0-1) Wykorzystanie Zliczenie obiektów w prostych sytuacjach i interpretowanie reprezentacji kombinatorycznych, stosowanie zasady mnożenia ( Zadanie 25. (0-1) Wykorzystanie Obliczenie średniej arytmetycznej i interpretowanie reprezentacji i interpretowanie tego parametru w kontekście praktycznym ( D A C B B D A D Wskazanie równania prostej równoległej do danej ( A B B C Obliczenie wyrazu ciągu określonego wzorem ogólnym ( B D A C Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 5 Zadanie 26. (0-2) Wykorzystanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej ( i interpretowanie reprezentacji Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt gdy: ? prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x1 ? ?5, x2 ? ?3 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo ? rozłoży trójmian kwadratowy x 2 ? 8 x ? 15 na czynniki liniowe i zapisze nierówność ? x ? 3?? x ? 5? ? 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo ? popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np. x1 ? 3, x2 ? 5, x ? ? ??,3? ? ? 5, ? ? albo 2 ? doprowadzi nierówność do postaci x ? 4 ? 1 (na przykład z postaci ? x ? 4 ? ? 1 ? 0 otrzymuje ? x ? 4 ? ? 1 , a następnie x ? 4 ? 1 ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. 2 Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: ? ? ??, ?5 ? ? ? ?3, ? ? albo ? x ? ?5 lub x ? ?3 albo ? x ? ?5, x ? ?3 albo ? w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. 1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x1 ? ?5, x2 ? ?3 i zapisze, np. x ? ? ??, ?5 ? ? ? 3, ? ? popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty. 2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci ? ??, ?3? ? ? ?5, ? ? , to przyznajemy 2 punkty. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki 6 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadania 27. (0-2) Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej ( I sposób rozwiązania Aby wykazać prawdziwość podanej nierówności, przekształcimy ją najpierw do prostszej postaci równoważnej. Rozpoczynamy od podanej nierówności: a?b?c a?b ? 3 2 Mnożymy obie strony tej nierówności przez 6: 2 ? a ? b ? c? ? 3? a ? b? 2c ? a ? b Uzyskana nierówność jest równoważna nierówności wyjściowej, zatem wystarczy wykazać jej prawdziwość. Z założenia wiemy, że c ? a oraz c ? b . Wobec tego 2c ? c ? c ? a ? b Co należało wykazać. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt jeśli przekształci podaną nierówność do postaci 2c ? a ? b lub ? c ? a ? ? ? c ? b ? ? 0 , Redukujemy wyrazy podobne: ?a ? b ? 2c ? 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. 6 Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt jeśli przedstawi kompletny dowód podanej nierówności. lub II sposób rozwiązania Zdający prowadzi ciąg nierówności, wychodząc od jednej ze stron podanej nierówności i na końcu dochodząc do drugiej. Założenie: 0 ? a ? b ? c a?b?c 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 a?b ? a? b? c ? a? b? b ? a? b ? a? b? b ? a? a? b ? a? b ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 2 3 6 2 2 2 2 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt jeśli co najmniej jedna z nierówności występująca w zapisanym ciągu nierówności wynika w sposób poprawny z podanych założeń, ale zdający nie podaje kompletnego dowodu wyjściowej nierówności. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt jeśli poda kompletny dowód podanej nierówności. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 7 Zadanie 28. (0-2) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki ( Uwaga Gdy zdający poda poprawną odpowiedź (trzeci pierwiastek wielomianu: x ? ?3 ) nie wykonując żadnych obliczeń, to otrzymuje 1 punkt. I sposób rozwiązania Przedstawiamy wielomian W ( x) w postaci W ? x ? ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? a ? , gdzie a oznacza trzeci pierwiastek wielomianu. Stąd W ( x) ? x3 ? x 2 ? ax 2 ? 12 x ? ax ? 12a = x3 ? ?1 ? a ? x 2 ? ? ?12 ? a ? x ? 12a , Porównując współczynniki wielomianu W ( x) otrzymujemy ?1 ? a ? 4 ? ??12 ? a ? ?9 ?12a ? ?36 ? Stąd a ? ?3 . Trzecim pierwiastkiem wielomianu W ( x) jest liczba x ? ?3 . Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy przedstawi wielomian W ( x) w postaci W ? x ? ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? a ? i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x ? ?3 . II sposób rozwiązania Przedstawiamy wielomian W ( x) w postaci iloczynu: W ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 9 x ? 36 ? x 2 ? x ? 4 ? ? 9 ? x ? 4 ? ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? 3? . Pierwiastkami wielomianu W ? x ? są zatem x1 ? ? 4 , x2 ? 3 oraz x3 ? ?3 . Odpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba x ? ?3 . Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy przedstawi wielomian w postaci iloczynu, np.: W ( x) ? ? x 2 ? 9 ? ? x ? 4 ? lub W ( x) ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? 3? lub W ( x) ? ? x 2 ? x ? 12 ? ? x ? 3? lub W ( x) ? ? x 2 ? 7 x ? 12 ? ? x ? 3? i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x ? ?3 . 8 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy III sposób rozwiązania Dzielimy wielomian W ? x ? przez dwumian ? x ? 4? Liczba ? 4 jest pierwiastkiem wielomianu W ? x ? , więc wielomian W ? x ? jest podzielny przez dwumian ? x ? 4 ? . Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W ? x ? , więc wielomian W ? x ? jest podzielny przez dwumian ? x ? 3? . Dzielimy wielomian W ? x ? przez dwumian ? x ? 3? x2 ? 7 x ? 12 ? x3 ? 4x2 ? 9x ? 36? : ? x ? 3? ? x3 ? 3x 2 7 x2 ? 9 x ?7 x2 ? 21x 12 x ? 36 ?12 x ? 36 ? ? Wielomian W ? x ? zapisujemy w postaci x2 ?9 ? x3 ? 4x2 ? 9x ? 36? : ? x ? 4? ?x3 ? 4x2 ? 9x ? 36 9x ? 36 ? ? Wielomian W ? x ? zapisujemy w postaci W ? x ? ? ? x ? 4? ? x ? 9? , 2 stąd W ? x ? ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? 3? . W ? x ? ? ? x 2 ? 7 x ? 12 ? ? x ? 3? . Wyznaczamy pierwiastki trójmianu x 2 ? 7 x ? 12 : x ? ? 4 i x ? ?3 . Liczby 3 i ?4 są pierwiastkami wielomianu W ? x ? , więc wielomian W ? x ? jest podzielny przez ? x ? 3?? x ? 4 ? = x 2 ? x ? 12 . Dzielimy wielomian W ? x ? przez ? ? ?x 2 ? x ? 12 ? x ?3 ? x3 ? 4 x2 ? 9 x ? 36? : ? x2 ? x ? 12? x3 ? x 2 ? 12 x 3x 2 ? 3x ? 36 ?3x 2 ? 3x ? 36 ? ? ? Zatem W ? x? ? ? x2 ? x ?12? ? x ? 3? ? ? x ? 3?? x ? 4?? x ? 3? . Zatem pierwiastkami wielomianu są: x1 ? ? 4 , x2 ? 3 oraz x3 ? ?3 . Odpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba x ? ?3 . Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 9 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy: ? wykona dzielenie wielomianu przez dwumian ? x ? 4 ? , otrzyma iloraz ? x 2 ? 9 ? i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo ? wykona dzielenie wielomianu przez dwumian ? x ? 3? , otrzyma iloraz ? x 2 ? 7 x ? 12 ? i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo ? wykona dzielenie wielomianu przez ? wykona dzielenie wielomianu przez x 2 ? x ? 12 , otrzyma iloraz ? ? ? x ? 3? i na tym ? x ? 4? lub ? x ? 3? , lub przez ?x 2 ? x ? 12 ? popełniając błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu wyznacza pierwiastki otrzymanego ilorazu. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x ? ?3 . Uwaga Dzieląc wielomian W ? x ? przez dwumian ? x ? p? 4 0 zdający może posłużyć się schematem -9 -9 - 36 0 Hornera, np. przy dzieleniu przez ? x ? 4 ? otrzymuje -4 1 1 IV sposób rozwiązania Korzystamy z jednego ze wzorów Vi?te'a dla wielomianu stopnia trzeciego i otrzymujemy ?? 4? ? 3 ? x3 ? ? ? 36 , stąd x3 ? ?3 1 lub ?? 4? ? 3 ? x3 ? ? 4 , stąd x3 ? ?3 , 1 lub ?? 4? ? 3 ? ?? 4? ? x3 ? 3 ? x3 ? ? 9 . 1 Proste sprawdzenie pokazuje, że rzeczywiście W ?? 3? ? 0 Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy poprawnie zastosuje jeden ze wzorów Vi?te'a dla wielomianu stopnia trzeciego i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy poprawnie obliczy trzeci pierwiastek: x ? ?3 . 10 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadania 29. (0-2) Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie własności symetralnej odcinka do wyznaczenia jej równania ( I sposób rozwiązania Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB: 10 ? 2 ? 2 . 2 ? ? ?2 ? Zatem współczynnik ? 1? kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB jest równy ? ? ? . Symetralna odcinka AB ? 2? 1 ? ?2 ? 2 2 ? 10 ? ma równanie y ? ? x ? b . Punkt S ? ? , ? ? ? 0, 6 ? jest środkiem odcinka AB . 2 ? 2 ? 2 1 Symetralna tego odcinka przechodzi przez punkt S, więc 6 ? ? ? 0 ? b . Stąd b ? 6 , a więc 2 1 symetralna odcinka AB ma równanie y ? ? x ? 6 . 2 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt ? gdy poprawnie wyznaczy lub poda współrzędne środka odcinka AB: S ? ?0,6 ? oraz współczynnik kierunkowy prostej AB: a ? 2 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo ? gdy popełni błędy rachunkowe przy wyznaczaniu współrzędnych środka odcinka albo współczynnika kierunkowego prostej AB i konsekwentnie wyznaczy równanie symetralnej albo ? gdy obliczy współczynnik kierunkowy prostej AB: a ? 2 oraz współczynnik 1 kierunkowy prostej do niej prostopadłej a1 ? ? i na tym zakończy lub dalej 2 popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 1 gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: y ? ? x ? 6 lub x ? 2 y ? 12 ? 0 . 2 II sposób rozwiązania Obliczamy współrzędne środka odcinka AB: S ? ?0,6 ? . Obliczamy współrzędne wektora ??? ? AB ? ?4,8? . Ponieważ symetralna odcinka AB jest prostopadła do wektora AB i przechodzi przez punkt S, więc jej równanie ma postać 4 ? x ? 0 ? ? 8 ? y ? 6 ? ? 0 , czyli x ? 2 y ? 12 ? 0 . Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy wyznaczy współrzędne wektora AB : AB ? ?4,8? oraz środek odcinka AB: S ? ?0,6 ? i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 11 Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy poprawnie wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: x ? 2 y ? 12 ? 0 lub 1 y ? ? x?6. 2 III sposób rozwiązania Z rysunku w układzie współrzędnych y 11 10 9 8 7 6 5 4 y=2x+6 B S A 3 2 1 x 1 2 3 4 5 6 7 -4 -3 -2 -1 odczytujemy współrzędne punktu S ? ?0,6 ? , współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka 1 1 AB: a ? ? i zapisujemy równanie symetralnej odcinka AB : y ? ? x ? 6 . 2 2 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy odczyta, z dokładnie sporządzonego rysunku w układzie współrzędnych, współrzędne środka odcinka AB i współczynnik kierunkowy symetralnej prostej AB i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 1 gdy zapisze równanie symetralnej odcinka AB: x ? 2 y ? 12 ? 0 lub y ? ? x ? 6 . 2 IV sposób rozwiązania Korzystamy z tego, że symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo oddalonych od jego końców. Jeśli punkt P ? ? x, y ? leży na symetralnej, to AP ? BP . Zatem ?x ? 2? ? ? y ? 2? ? ?x ? 2? ? ? y ?10? , czyli ?x ? 2? ? ? y ? 2? ? ?x ? 2? ? ? y ? 10? . Po uporządkowaniu równania i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy x ? 2 y ? 12 ? 0 . 2 2 2 2 2 2 2 2 Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt ?x ? 2? ? ? y ? 2? ? ?x ? 2? ? ? y ? 10? i na tym poprzestanie lub gdy zapisze równanie dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 1 gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: x ? 2 y ? 12 ? 0 lub y ? ? x ? 6 . 2 2 2 2 2 12 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów i wyznaczy konsekwentnie równanie symetralnej odcinka AB, to za takie rozwiązanie przyznajemy 2 punkty. Zadanie 30. (0-2) Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu geometrycznego ( I sposób rozwiązania Niech ?BAC ? 2? , ?ABC ? 2 ? , ?ACB ? ? , ?APB ? ? . C ? P ? A ? ? ? ? B Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie równa jest 180? , więc w trójkącie ABC mamy 2? ? 2 ? ? ? ? 180? . Ponieważ ? ? 0? , więc 2? ? 2? ? 180? , stąd ? ? ? ? 90? . W trójkącie ABP mamy ? ? ? ? ? ? 180? . Stąd i z otrzymanej nierówności ? ? ? ? 90? wynika, że ? ? 90? . Oznacza to, że kąt APB jest kątem rozwartym. Co należało uzasadnić. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt APB jest kątem rozwartym. II sposób rozwiązania Niech ?BAC ? 2? , ?ABC ? 2 ? , ?ACB ? ? , ?APB ? ? . C ? P ? ? A ? ? ? ? B Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 13 Ponieważ ? ? ? ? 180? oraz suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie ABP jest równa 180? , więc otrzymujemy 1 1 1 ? ? 180? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ? 2? ? ? ?2? ? 2? ? ? ? ? ? 180? ? 90? . 2 2 2 ? Ponieważ ? ? 90 , więc ? jest kątem ostrym, zatem ? jest kątem rozwartym. Oznacza to, że kąt APB jest kątem rozwartym. Co należało uzasadnić. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt APB jest rozwarty. Zadanie 31. (0-2) Modelowanie matematyczne Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa ( I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane ? x, y ? dwóch liczb ze zbioru ?1, 2,3, 4,5, 6, 7? . Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa ? ? 7 ? 7 ? 49 . Iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6, gdy: ? jedna z tych liczb jest równa 6 (wówczas druga jest dowolna) albo ? jedną z liczb jest 3, a drugą jest 2 lub 4. Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa A ? ? 2 ? 7 ? 1? ? 2 ? 2 ? 17 . Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe: P ? A ? ? II sposób rozwiązania (metoda tabeli) 6 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 5 17 . 49 1 2 3 4 5 6 7 Symbole w tabeli oznaczają odpowiednio: ? - zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A 17 . ? ? 7 ? 7 ? 49 i A ? 17 , zatem P ? A ? ? 49 14 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy ? obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: ? ? 7 2 ? 49 albo ? obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A : A ? 17 . Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 17 . gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P ( A) ? 49 Uwaga Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( A) ? 1 , to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów. III sposób rozwiązania (metoda drzewa) Drzewo z istotnymi gałęziami: 1 7 2 7 1 7 3 7 6 7 7 Dowolna z siedmiu 2, 4 2 7 3 7 3 1, 5, 7 1 7 3, 6 2, 4, 6 6 Prawdopodobieństwo zdarzenia A (iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6) 1 7 2 2 1 3 3 1 17 jest więc równe: P ? A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 7 7 7 7 7 7 7 7 49 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy: ? narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo albo ? narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 17 . gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P ( A) ? 49 Uwaga Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( A) ? 1 , to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, 17 1 ? , to otrzymuje 2 punkty. np. P ( A) ? 49 3 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 15 Zadanie 32. (0-4) Modelowanie matematyczne Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego ( I sposób rozwiązania Ciąg ? 9, x,19 ? jest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich: x ? 9 ? 19 ? 14 . 2 42 ? 3. 14 Wiemy, że ciąg ?14, 42, y, z ? jest geometryczny, zatem jego iloraz jest równy q ? Wobec tego y ? 3 ? 42 ? 126 i z ? 126 ? 3 ? 378 . Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt 9 ? 19 lub ? wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np. x ? 2 2 x ? 9 ? 19 lub x ? 14 albo ? wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np. 42 2 ? xy lub y 2 ? 42 z . Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego q ? 3 . Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt Obliczenie x ? 14 , y ? 126 , z ? 378 . II sposób rozwiązania Ciąg ? 9, x,19 ? jest arytmetyczny, zatem 2 x ? 9 ? 19 , x ? 14 . Ciąg ?14, 42, y, z ? jest geometryczny, zatem 422 ? 14 ? y i y 2 ? 42 ? z , y? 1764 ? 126 i 1262 ? 42 ? z , stąd z ? 378 . 14 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt 9 ? 19 lub ? wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np. x ? 2 2 x ? 9 ? 19 , lub x ? 14 albo ? wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np. 42 2 ? xy lub y 2 ? 42 z . Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt Obliczenie x ? 14 i zapisanie równania 422 ? 14 y lub 1764 ? 14 y . Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt Obliczenie y ? 126 i zapisanie równania y 2 ? 42 z lub 1262 ? 42z . 16 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 4 pkt Obliczenie x ? 14 , y ? 126 , z ? 378 . Uwaga Jeśli zdający pomyli własności ciągów, to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów. Zadanie 33. (0-4) Użycie i tworzenie strategii Obliczenie objętości wielościanu ( Strategia rozwiązania tego zadania sprowadza się do realizacji następujących etapów: a) obliczenie wysokości AE ostrosłupa, b) obliczenie pola podstawy tego ostrosłupa, c) obliczenie objętości ostrosłupa. Rozwiązanie a) Obliczenie pola podstawy ostrosłupa Podstawa ABCD ostrosłupa jest kwadratem o boku AB. Stosując wzór na przekątną kwadratu, 4 mamy: 4 ? AB 2 , stąd AB ? ?2 2. 2 Obliczamy pole P podstawy ostrosłupa: P ? 2 2 ? ? 2 ? 8 . b) Obliczenie wysokości AE ostrosłupa Rysujemy trójkąt EAC. 8 3 ?4 3. 2 c) Obliczenie objętości ostrosłupa AE ? 1 32 3. Objętość ostrosłupa jest równa V ? ? 8 ? 4 3 ? 3 3 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania ......................................................................................................................... 1 pkt Obliczenie wysokości AE ostrosłupa: AE ? 4 3 albo obliczenie pola P podstawy ostrosłupa: P? 2 2 ? ? 2 ?8. Pokonanie zasadniczych trudności zadania..................................................................... 3 pkt Obliczenie pola podstawy i wysokości ostrosłupa. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 17 Uwaga Jeśli zdający obliczy jedną z tych wielkości z błędem rachunkowym, to otrzymuje 2 punkty. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt 32 Obliczenie objętości ostrosłupa: V ? 3. 3 Uwaga 1 we wzorze na objętość ostrosłupa, ale rozwiązanie 3 doprowadzi konsekwentnie do końca z tym jednym błędem, to za takie rozwiązanie otrzymuje 3 punkty. Jeśli zdający pominie współczynnik Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Nie obniżamy punktacji zadania za błędy nieuwagi, np. gdy zdający poprawnie obliczył wysokość ostrosłupa, ale przy obliczaniu objętości ostrosłupa podstawił błędna wartość. Zadanie 34. (0-5) Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego ( I sposób rozwiązania Przyjmujemy oznaczenia np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, v - średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę. Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla pociągu pospiesznego: ? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ?t ? v ? 210 ? Następnie zapisujemy układ równań ? ?? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ? Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.: ?t ? 1? ? ? 210 ? 24 ? ? 210 ? ? ? t ? 210 210 ? 24t ? ? 24 ? 210 t 24t 2 ? 24t ? 210 ? 0 4t 2 ? 4t ? 35 ? 0 ? ? 16 ? 560 ? 242 4 ? 24 5 4 ? 24 7 t1 ? ?? , t2 ? ? ? 3,5 8 2 8 2 t1 jest sprzeczne z warunkami zadania. Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny: 3,5 ? 1 ? 2,5 . Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny. 18 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy II sposób rozwiązania Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla pociągu pospiesznego: ? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ?t ? v ? 210 ? Następnie zapisujemy układ równań ? ?? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ? Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.: ? 210 ? ? 1? ? ?v ? 24 ? ? 210 ? ? v ? 5040 210 ? ? v ? 24 ? 210 v 5040 ? v ? 24 ? 0 v ?v 2 ? 24v ? 5040 ? 0 ? ? 576 ? 20160 ? 1442 24 ? 144 24 ? 144 ? ?84 , v1 ? ? 60 , v2 ? ?2 ?2 v2 jest sprzeczne z warunkami zadania. 210 210 7 Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg osobowy: t ? ? ? ? 3,5 . v 60 2 Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny: 3,5 - 1 = 2,5. Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny. III sposób rozwiązania Przyjmujemy oznaczenia np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, v - średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę. v+24 v t?1 t Narysowane duże prostokąty reprezentują odległości przebyte przez obydwa pociągi, mają zatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów są równe. Stąd równość 24 ? t ? 1? ? 1 ? v . Droga przebyta przez pociąg osobowy wyraża się wzorem v ? t ? 24 ? t ? 1? ? t . Ponieważ trasa pociągu ma długość 210 km, otrzymujemy równanie 24 ? t ? 1? ? t ? 210 . Stąd 24t 2 ? 24t ? 210 ? 0 4t 2 ? 4t ? 35 ? 0 ? ? 16 ? 560 ? 242 4 ? 24 5 4 ? 24 7 t1 ? ?? , t2 ? ? ? 3,5 8 2 8 2 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 19 t1 jest sprzeczne z warunkami zadania. Zatem pociąg osobowy jechał przez 3,5 godziny, a pociąg pospieszny: 3,5 ? 1 ? 2,5 godziny. Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny. Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ........................................................................................................ 1 pkt Zapisanie równania z dwiema niewiadomymi ? t ? 1?? v ? 24 ? ? 210 gdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, a v średnią prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę, lub ? t ? 1?? v ? 24 ? ? 210 gdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg pospieszny, a v średnią prędkość pociągu pospiesznego w kilometrach na godzinę. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ................................................................... 2 pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np.: ?t ? v ? 210 ?t ? v ? 210 ? lub ? ? ?? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ??t ? 1? ? ?v ? 24? ? 210 ? Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................. 3 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.: ?t ? 1? ? ? 210 ? 24 ? ? 210 lub ? 210 ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 lub 24 ? t ? 1? ? t ? 210 ? ? ? ? ? v ? ? t ? Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały popełnione błędy rachunkowe lub usterki .................................................................... 2 pkt Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ...................................................... 4 pkt ? rozwiązanie równania z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie czasu pokonania drogi przez pociąg pospieszny albo ? obliczenie czasu jazdy pociągu osobowego: t ? 3,5 i nie obliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny. Rozwiązanie pełne ........................................................................................................... 5 pkt Obliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny: 2,5 godziny. Uwagi 1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający odgadnie czas jazdy pociągu pospiesznego i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt. 20 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Przykład 1. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy 210 v ? 24 ? t ?1 ?210 ? v ? t ? ? ?210 ? ? v ? 24 ? t ? 1 ? i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie 210 ujął wyrażenia t ? 1 w nawias. Zapis równania v ? 24 ? wskazuje na poprawną t ?1 interpretację zależności między wielkościami. Przykład 2. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy 210 ? v? 210 ? 120 210 ? t v ? 24 ? ? 24 ? ? 210 t ?1 ? t t? v ? 24 ? ? t ?1 ? i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych 120 210 ? 24 ? zdający trudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu t t? przestawił cyfry w zapisie liczby 210 i pominął liczbę 1 w mianowniku ułamka. Przykład 3. Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np. 4t 2 ? 4t ? 35 ? 0 zamiast równania 4t 2 ? 4t ? 35 ? 0 (np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik, który może być realnym czasem jazdy pociągu pospiesznego, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów. Komisje Egzaminacyjne - dane teleadresowe Centralna Komisja Egzaminacyjna kod: 00-190miejscowość: Warszawaadres: ul. Józefa Lewartowskiego 6kontakt tel.: (22) 53-66-500fax: (22) 53-66-504e-mail: ckesekr@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Gdańsku kod: 80-874miejscowość: Gdańskadres: ul. Na Stoku 49kontakt tel.: (58) 32-05-590fax: (58) 32-05-591e-mail: komisja@ pracy: - 191687916NIP: 583-26-08-016 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Jaworznie kod: 43-600miejscowość: Jaworznoadres: ul. Mickiewicza 4kontakt tel.: (32) 78-41-601fax: (32) 78-41-608e-mail: sekretariat@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie kod: 31-978miejscowość: Krakówadres: os. Szkolne 37kontakt tel.: (12) 68-32-101fax: (12) 68-32-100e-mail: oke@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łodzi kod: 94-203miejscowość: Łódźadres: ul. Praussa 4kontakt tel.: (42) 63-49-133fax: (42) 63-49-154e-mail: komisja@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży kod: 18-400miejscowość: Łomżaadres: ul. Nowa 2kontakt tel.: (86) 21-64-495fax: (86) 473-71-20e-mail: sekretariat@ pracy: 8 - 16 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu kod: 61-655miejscowość: Poznańadres: ul. Gronowa 22kontakt tel.: (61) 85-40-160fax: (61) 85-21-441e-mail: sekretariat@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Warszawie kod: 00-844miejscowość: Warszawaadres: ul. Grzybowska 77kontakt tel.: (22) 45-70-335fax: (22) 45-70-345e-mail: info@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna we Wrocławiu kod: 53-533miejscowość: Wrocławadres: ul. Zielińskiego 57kontakt tel.: (71) 78-51-894fax: (71) 78 -51-866e-mail: sekretariat@ pracy: 8-16REGON: 931982940NIP: 895-16-60-154

matura z matematyki 2012 poziom podstawowy